maraqlı · Riyaziyyat

Ehtimallar və Sonsuz Meymun Teoremi

Bir meymun çap maşının başında oturub sonsuza qədər təsadüfi şəkildə çap maşının düymələrinə basarsa nəticə, sizcə, nə olar? Ortaya çıxan mətn hansısa əsərin bir parçası yada tam özü ola bilərmi? Meymun problemi ehtimal nəzəriyyəsində bir statistik mexaniki sualı olaraq başlamış, ilk dəfə 1913-ci ildə Emile Borelin bir məqaləsində yer almışdır.

Sonsuz meymun teoremi bir çap maşının düymələrinə sonsuz bir müddət boyunca təsadüfi basan bir meymunun müəyyən bir mətni (məsələn, William Shakespearenin bütün əsərlərini) haradasa qəti olaraq yaza biləcəyini ortaya qoyan riyaziyyat teoremidir.

 

Sonsuz meymun teoremi “Haradasa qəti” sözü riyazi bir termindir və “meymun” da gerçək bir meymundursa, təsadüfi hərflərdən ibarət olan bir silsiləni sonsuza qədər çıxaran mücərrəd bir cihazı ifadə edir. Teorem çox böyük amma sonlu bir ədəd xəyal edərək sonsuzluq haqqında düşünməyin risklərinə diqqət çəkməkdədir. Bir meymunun Şeksprin “Hamlet”i kimi bir əsəri tamamilə eyni şəkildə yaza bilmə ehtimalı o qədər kiçikdir ki, bu vəziyyətin kainatın yaşı ölçüsündə bir müddətdə reallaşma şansı əhəmiyyətsizdir, amma sıfır deyil.

Sübut

Teoremin olduqca başa düşülən bir sübutu vardır.

Yazı makinasında 50 düymə olduğu və yazılacaq sözün “meymun” olduğunu güman edək. İki hadisə statistik olaraq müstəqildirsə (hadisələr bir-birinin nəticəsin təsir etmirsə), bu iki hadisənin birlikdə reallaşma ehtimalı, bu hadisələrin ayrı-ayrı reallaşma ehtimallarının hasilinə bərabərdir.

Düymələrə təsadüfi şəkildə basıldığı nəzərə alınarsa, yazılan ilk hərfin m olma ehtimalı 1/50-dir. Oxşar qayda ilə, ikinci hərfin e olma ehtimalı da 1/50-yə bərabər olacaqdır. Ard-arda yazılan hərflər bir-birindən asılı olmayan hadisələr olduğundan, ilk altı hərfin “meymun” sözünü əmələ gətirdiyi ehtimalı

 

(1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) = (1/50)6 = 1/15.625.000.000

olaraq hesablanır. Bu ədəd də 15 milyardda birdən kiçikdir. Eyni səbəblə də yazılacaq sonrakı altı hərfin “meymun” sözünü əmələ gətirməsi ehtimalı da (1/50)6 -ya bərabər olacaq və bu hal belə də davam edir.

 

Yuxarıdakı açıqlamalara əsasən “meymun” sözünün yaranmaması ehtimalı isə 1 − (1/50)6 -ya bərabərdir.

 

Yazı sınaqları asılı olmayan hadisələr olduğundan ilk n sınaqda “meymun” sözünün yaranmama ehtimalı

Xn = ( 1 – (1/50)6 )N     olur.

n artdıqca Xn azalmaqdadır:

 

n = 1.000.000 üçün Xn ≈ 0.9999 (≈ %99.99),

n = 10.000.000.000 üçün Xn ≈ 0.53 (≈ %53) və

n = 100.000.000.000 üçün də Xn ≈ 0.0017 (≈ %0.17)-dir.

n sonsuza yaxınlaşdıqca Xn sıfıra yaxınlaşır. Beləliklə, n lazımınca böyük seçilərək Xn istənildiyi ölçüdə azaldıla bilinir və “meymun” yazılma ehtimalı 100%-ə yaxınlaşır. Eyni əsaslandırma sonsuz sayda meymundan ən az birinin bir mətni, yazı makinasını demək olar ki xətasız istifadə edə bilən bir insanla eyni müddətdə yaza biləcəyini də göstərir.

Bu halda

Xn = ( 1 – (1/50)6 )N

bərabərliyində Xn, ilk n meymundan heç birinin “meymun” sözünü ilk sınaqda yaza bilməmə ehtimalını göstərməkdədir. Bu ehtimal 100 milyard meymun üçün 0.17%-ə düşür və n sonsuzluğa yaxınlaşdıqca da Xn sıfıra yaxınlaşaraq azalır.

Amma ki, fiziki baxımdan mümkün sayda meymunun fiziki baxımdan real bir müddət boyunca yazma sınaqları etdiyi düşünüldüyündə, nəticə yuxarda əldə edilənin tərsi olur. Meymun sayı qavrana bilinən kainatdakı hissəcik sayına (1080) bərabər olsa və hər meymun kainatın yaşının (1020 saniyə) 100 qatı müddət boyunca saniyədə 1000 hərf yazabilsə, əldə edilən mətnin qısa bir kitabın belə tamamən eynisi olma ehtimalı sıfıra yaxındır.

 

Başqa bir nümunəyə baxaq:

Məsələn, “ŞANS” kəlməsini götürək.

 

Çap maşının klaviaturasını 32 hərfi olan Azərbaycan əlifbasında olan klavişlərdən ibarət olduğunu düşünək, bu vəziyyətdə hər xarakterin yazılabilmə ehtimalı 32 də 1-dir. Bu vəziyyət sadə bir riyaziyyat hesabı ilə

 

1/32 * 1/32 * 1/32 * 1/32 = 1/ 1048576

nəticəsini verir bizlərə. Ancaq bu düzmə ehtimalıdır, əlbəttə. Bu lazım olan hərfləri yan-yana düzməmə ehtimalı isə N sınaqdan sonra

( 1- (  1/32 )4 )N

olaraq hesablanır. Unutmayın işi sadə tutmaq üçün yalnız 4 hərfli bir sözü götürdük və üzərində çalışırıq. Hərflərin yan-yana düzülməmə ehtimalı artdıqca yəni N sonsuzluğa getdikcə, alacağımız nəticə gedərək sıfıra yaxınlaşacaqdır. Demək ki, N kifayət qədər böyük seçilibsə,  ehtimalımız az qala sıfır olur.

 

Ehtimallar

Durğu işarələri, boşluq və böyük-kiçik hərf istifadəsi nəzərə alınmazsa, bir meymunun Hamletin ilk hərfini doğru yazma ehtimalı 26-da 1, ilk iki hərfini doğru yazma ehtimalı isə 676 (26 × 26)-da 1-dir. Ehtimal bu cür variantlar artdıqca kiçildiyi üçün, ilk 20 hərfin doğru yazılma ehtimalı

 

2620 = 19.928.148.895.209.409.152.340.197.376-da (təxminən 2 × 1028-də) 1-ə düşür. Hamletin tam forması düşünüldüyündə ehtimallar o qədər azalır ki, bu qiymətləri sıfırdan ayıra bilmək olduqca çətinləşir. Hamletin tam mətni təxminən 130.000 hərfdən ibarətdir.

Beləliklə, bu mətni ilk sınaqda doğru yazma ehtimalı 3.4 × 10183.946-da 1-dir.

Doğru mətnin ortaya çıxması üçün lazım olan təxmini hərf sayı da 3.4 × 10183.946-dır.

Durğu işarələri də nəzərə alınarsa, bu say 4.4 × 10360.783-ə çatır.

Bütün kainat ilk gündən bu yana yazmaqla məşğul olan meymunlarla doldurulsa belə, Hamlet əsərinin tam ortaya çıxma ehtimalı 10183.800-də 1-dən kiçik olacaqdır. Kittel və Kroemerin deyimiylə “Hamleti yazmaq ehtimalı, bir hadisənin həyata keçməsi reallıq ölçüsündə sıfırdır” və meymunların bu işi əvvəl-axır bacaracaqlarına dair ifadə “çox böyük ədədlər haqqında yalnış nəticələrə sabəb olur.

Teoremin çox və ya sonsuz sayda printer olan versiyaları olduğu kimi, hədəf mətnin böyüklüyü də bütün bir kitabxana ilə tək bir cümlə arasında da dəyişə bilir. Teoremin kökləri Aristotelin ‘Yaranma və Dağılma’ və Siseronun ‘De natura deorum’ adlı əsərləri ilə Blez Paskal və Conatan Sviftin düşüncələrinə əsaslanır.

Yazı yazan meymunlara olan xüsusi maraq televiziya, radio, musiqi və İnternetdəki bir çox misaldan görünə bilir. 2003-cü ildə altı kəkilli qara meymunla (Macaca nigra) bir sınaq həyata keçirilmişdir, lakin ortaya çıxmış kağız ‘S’ hərfinin üstünlük təşkil etdiyi beş səhifəlik bir yazı nümunəsi olmuşdur.

Statistik mexanika

“Daktiloqraf” (yazıçı) meymunları (fransızca: singes dactylographes; fransızca singe sözü primat mənasına uyğundur) əsas götürən forma Emil Borelin 1913-cü ildə yazdığı “Mécanique Statistique et Irréversibilité” (Statistik mexanika və qayıtmazlıq) adlı məqaləsi və 1914-cü ildə yayımlanan “Le Hasard” adlı kitabında yer almışdır. Burada qeyd olunan “meymunlar” həqiqi varlıqları təmsil etməkdən daha çox, çox böyük bir təsadüfi hərf ardıcıllığı əmələ gətirmək üçün istifadə olunan simvolik bir üsulu bildirir. Borelə görə, bir milyon meymunun gündə on saat boyunca yazı yazması halında belə dünyanın ən zəngin kitabxanasında olan kitabların eynilə kopyalanması demək olar ki mümkün deyildir.

 

Artur Eddinqton The Nature of the Physical World (1928) adlı kitabında Boreli bu formada dəstəkləyir:

 

“Barmaqlarımı bir yazı makinasının düymələri üzərində gəzdirsəm yaranan uzun hərflər ardıcıllığı başa düşülən bir cümlə əmələ gətirə bilər. Bir meymun ordusu makinalara dayanmadan yüklənsə Britaniya Muzeyindəki bütün kitabları yaza bilərlər. Hə, əlbəttə bu ehtimal bir qab içərisindəki molekulların eyni tərəfdə toplanması ehtimalından yüksəkdir”.

Bütün bu şərhlər çox böyük, lakin sonlu sayda meymunun önəmli bir iş meydana gətirməsinin inanılmaz dərəcədə kiçik ehtimalını müəyyən fiziki hadisələrin baş vermə ehtimalları ilə müqayisə edilməsini müzakirə mövzusu etmişdir. Meymunların müvəffəq olmasından daha az ehtimallı fiziki hadisələrin reallıqda mümkün olmadığı qətiyyətlə deyilə bilər.

 

Özüllər və “Əskiksiz Kitabxana”

Argentinalı yazıçı Corc Luis Borges 1939-cu ildə yazdığı “The Total Library” (Bütün Kitabxana) adlı məqaləsində sonsuz meymun anlayışını Aristotelin Metafizika adlı əsəri ilə əsaslandırır. Dünyanın atomların təsadüfən mövqe tutmalarından yarandığını düşünən Lefkipposun görüşlərini genişləndirən Aristotel, atomların homogen olduqlarını və əmələ gətirdikləri birləşmələrin sadəcə şəkil, mövqe və sıralamaya bağlı dəyişdiyini vurğulayır. Yunan filosof bu vəziyyəti De Generatione et Corruptione (Yaranma və Dağılma) adlı əsərində tragediya ilə komediyanın eyni atomlardan, yəni (mövcud) hərflərdən əmələ gəlməsi ilə müqayisə etmişdir. Siseronun üç yüz il sonra yayımladığı “De natura deorum”-da (Tanrıların Təbiəti) bu atomik baxışa qarşı çıxır:

 

“Bu baxışı müdafiə edən biri bunu da qəbul etməyə məcbur olacaqdır: Qızıldan və ya hər hansısa bir maddədən düzəldilmiş çox sayda hərf ortaya tökülərsə, bu hərflər elə bir düzülüşə sahib ola bilərlər ki Enniusun illikləri ilə eynilə bərabər olar. Şansın bu sətirlərin birini belə əmələ gətirə bilməsi fikrinə mən şübhə ilə baxaram.”

 

Borges bu baxışı Blez Paskal və Conatan Sviftdə də təqib etmiş və yaşadığı dövrdə istifadə olunan ifadə formasının dəyişdiyinin şahidi olmuşdur. 1939-cu ildə artıq ən yayılmış forma “hamısı yazı makinasına sahib olan yarım düjün sayda meymunun British Museum-dakı bütün kitabları bir neçə sonsuzluq zaman bölümündə yaza biləcəkləri idi.” (Borges “bir ölməz meymunun bu iş üçün kifayət olacağını” da əlavə etmişdir) Bundan başqa, Borges belə bir cəhdin sonuna qədər reallaşdırılması vəziyyətində meydana gələ biləcək “Əskiksiz Kitabxana”nın tərkibini xəyal etməyə başlamışdır:

 

Bu kitabxanada hər şey yer alırdı. Hər şey… Gələcəyin detallı keçmişi, Eşilosun Misirlilər adlı oyunu, Qanc sularında bir şahinin uçuşunun dəqiq olaraq neçə dəfə əks olunduğunun sayı, Romanın gizli və əsil reallıqları, Novalisin yazmağı planlaşdırdığı ensiklopediyanın bütün cildləri, 14 avqust 1934-cü il səhərə yaxın gördüyüm yuxular, Pier Fermat teoreminin isbatı, Edvin Drodun yazılmamış bölümləri, bu bölümlərin qaramant dilindəki qarşılığı, Berkeleyin zamana aid hazırladığı ancaq yayımlamadığı əksliklər,

 

Borgesin “Əskiksiz Kitabxana” anlayışı yazıçının 1941-ci tarixli çox oxunan “Babil Kitabxanası” adlı hekayəsinin ana xətlərini əmələ gətirir. Hekayə, bir-birinə bağlı altıbucaqlı bölmələrdən əmələ gələn və əlifbanın bütün hərfləri ilə bəzi durğu işarələrinin birlikdə əmələ gətirdiyi çoxluqdan əldə edilə bilinəcək bütün əsərləri özündə birləşdirən böyük bir kitabxanadan bəhs edir.

Bu nə işimə yarayar desəniz, bu bizə hərfləri təsadüfi şəkildə idarə edən bir kompüter proqramının 4 hərfdən ibarət bir şifrəni asanlıqla qıra biləcəyini söyləyər. Müasir dövrümüzdə ən adi kompüterlər belə 50 milyon əməliyyatı 10 saniyədən daha qısa bir müddətdə edərlər. Məhz bu səbəblə işləri bir az qarışdırmaq üçün böyük – kiçik hərf birləşmələri istifadə və ya araya bir simvol əlavə etmək daha ağıllı yoldur.

Pi sayının ilk altı pilləsinin klaviaturada təsadüfi basılmasının ehtimalı milyonda birdir. Min ədəd meymunun hər birinə min dəfə sınaq şansı verilsə bu ədədi yazma ehtimalları 50%-dən çox olacaq.

Bu məsələnin mahiyəti odur ki, bu ehtimallar çox çox kiçik ədədlər alına bilər, amma yenə də 0-a maksimal yaxınlaşsa da 0 almır.

Mənbə:

http://www.matematiksel.org/rastlantilar-sonsuz-maymun-teoremi/

https://az.wikipedia.org/wiki/Sonsuz_meymun_teoremi

 

 

 

Bir cavab yazın

Sistemə daxil olmaq üçün məlumatlarınızı daxil edin və ya ikonlardan birinə tıklayın:

WordPress.com Loqosu

WordPress.com hesabınızdan istifadə edərək şərh edirsinz. Çıxış /  Dəyişdir )

Google foto

Google hesabınızdan istifadə edərək şərh edirsinz. Çıxış /  Dəyişdir )

Twitter rəsmi

Twitter hesabınızdan istifadə edərək şərh edirsinz. Çıxış /  Dəyişdir )

Facebook fotosu

Facebook hesabınızdan istifadə edərək şərh edirsinz. Çıxış /  Dəyişdir )

%s qoşulma